Matematica I

Definición de los números naturales

 

Historia de los números naturales

Antes de que surgieran los números el ser humano se las ingenió para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.

Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Dedekind. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que,

con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann.

Definiciones no matemáticas:

 

La Real Academia Española los define como «cada uno de los elementos de la sucesión 0, 1, 2, 3…» ^[1]

      Definición de número: símbolo que indica una cantidad, estos símbolos según datos históricos comienzan en el antiguo Egipto y la Mesopotamia, no se sabe dónde, cuándo, ni por quién, pero fueron inventados por el hombre, al observar la gran cantidad y variedad de elementos que hay en la naturaleza. Surgió entonces la necesidad e inquietud matemática.
Empezaron los antiguos a clasificar los elementos que tenían a su alrededor: árboles, frutas, animales, etc… Y luego los enumeraron: 2 árboles, 3 manzanas, 5 rocas, etc… Fue así como de esta relación de orden y clasificación surgió el concepto de número abstracto y de allí surge la matemática.

      Definición de natural: según el diccionario Larousse se refiere a la naturaleza y también al originario de un lugar.

      Mirtha Elías K. en su libro Matemática de 7º Grado, Pág. 9 Capítulo I, dice que natural es algo cotidiano y se usa casi sin advertirlo. Según ella, todo se encuentra en la naturaleza y por eso los números naturales se llaman así, porque los usamos en forma natural casi sin advertirlo.

      Enrique Navarro en su libro matemática de 7º Grado, Pág. 16, los define como el conjunto de los números enteros positivos, entendiéndose por entero todo número no decimal, ni fraccionario y como positivo todo número que se ubica a la derecha del cero en la recta real.

 

Postulados de Peano

Los Postulados de Peano describen la estructura Números Naturales sin necesitad de otra teoría alguna (por ejemplo Teoría de Conjuntos) y ajena de las definiciones aritméticas de suma o equivalencia, de la siguiente forma:

      0 es un símbolo que cumple la propiedad de ser un Número Natural. (Nótese que 0 no tiene que significar nada en lo absoluto, bien puede ser una manzana, el conjunto vacío, el uno en los reales o cualquier otra cosa)

      Si α es un Número Natural, entonces el símbolo σ(α) representa a un Número Natural distinto de α, cuyo significado será: aquél Número Natural que sucede al Número Natural α. (Nótese en este postulado que el significado del símbolo, otra vez, es independiente de la notación, este postulado nos permite construir nuevos Números Naturales, encerrándolos entre el los símbolos σ( y ))

      el símbolo 0 no tiene la forma σ(α) para α un Número Natural, por lo tanto, no existe un Número Natural α tal que el símbolo 0 represente al mismo objeto que σ(α) (A este postulado se le conoce con el nombre de Principio del Buen Orden, pues garantiza un elemento inicial)

      Si α y β son Número Naturales distintos, entonces los Números Naturales σ (α) y σ (β) también son distintos. (En Teoría de Conjuntos este postulado se leería como: σ es una función inyectiva)

      Si S es una colección o grupo tal que:

1.     0 forma parte de S y,

2.     para cada α elemento de S, α es un Número Natural y además, el Número Natural σ(α) forma parte de S,

Entonces S representa a la colección o grupo de todos los Números Naturales.

A este último postulado se le conoce también con el nombre de inducción matemática. Se viene utilizando de modo más o menos informal desde la antigüedad (Euclides, Al-Karaji) y fue definida con más precisión por Francesco Maurolico, Jakob Bernoulli, Pascal y Fermat. Peano incorporó la inducción como un axioma de su sistema, como único medio para poder demostrar propiedades, incluso muy básicas, de los números naturales. Sin embargo, el principio de inducción matemática es más complejo que el resto de los axiomas. En términos de lógica, es el único clasificable como lógica de segundo orden, en tanto que los demás axiomas son de lógica de primer orden. Se han propuesto sistemas axiomáticos más débiles, que prescinden del principio de inducción (aritmética de Robinson).

Definición en teoría de conjuntos:

En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.

Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple

1.     Para cada ,

2.     La relación es un orden total estricto en x

3.     Todo subconjunto no vacío de x tiene elementos mínimo y máximo en el orden

Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.

Se define entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por 0 y que cada número natural n tiene un sucesor denotado como n ⁺ . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:

 

De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:

 

 

 

 

CAPA 5,6,7 DEL MODELO OSI

MODELO OSI

En 1977, La Organización Internacional de Estándares (ISO), integrada por industrias
representativas del medio, creó un subcomité para desarrollar estándares de
comunicación de datos que promovieran la accesibilidad universal y una interoperabilidad
entre productos de diferentes fabricantes.
El resultado de estos esfuerzos es el Modelo de Referencia para la Interconexión de
Sistemas Abiertos (OSI: Open Systems lnterconnection), aprobado por la ISO en el año
1984, bajo la norma ISO 7498.

El Modelo OSI es un lineamiento funcional para tareas de comunicaciones y, por
consiguiente, no especifica un estándar de comunicación para dichas tareas. Sin
embargo, muchos estándares y protocolos cumplen con los lineamientos del Modelo OSI.

CAPA 5 SESIÓN

Capa de sesión (Session Layer): La capa de sesión es la encargada de establecer el
enlace de comunicación o sesión entre las computadoras emisora y receptora.

* Funciones esenciales
o Esta encargada de proporcionar sincronización y gestion de testigos.
o Establece, administra y finaliza las sesiones entre dos host que se estan
comunicando.
o Restaura la sesion a partir de un punto seguro y sin perdida de datos.
o Sincroniza el dialogo entre las capas de presentación de los host y
administra su intercambio de datos.
o Sincroniza el dialogo entre las capas de presentación de los host y
administra su intercambio de datos.
o Ofrece disposiciones para una eficiente transferencia de datos.
o Manejar tokens
o Hacer checkpoints.
o Cronometra y controla el flujo.
o Coordina el intercambio de información entre sistemas mediante técnicas
de conversación o dialogos.
o Puede ser usada para efectuar un login a un sistema de tiempo compartido
remoto.
o Permite que los usuarios de diferentes maquinas puedan establecer
sesiones entre ellos.

Protocolos importantes

o Lenguaje de consulta estructurado (SOL).
o Llamada de procedimiento remoto (RPC)
o Sistema X Windows
o Protocolo de control de session DNA (SCP).
o Sistema de archivos de red (NFS).

CAPA DE PRESENTACION
Es generalmente un protocolo de paso de la información desde las capas
adyacentes y permite la comunicación entre las aplicaciones en distintos sistemas
informáticos de manera tal que resulte transparente para las aplicaciones, se
ocupa del formato y la representación de los datos y, si es necesario, esta capa
puede traducir entre distintos formatos de datos. Además, también se ocupa de las
estructuras de los datos que se utilizan en cada aplicación, aprenderá cómo esta
capa ordena y organiza los datos antes de su transferencia.

Funciones y estándares de la capa de presentación

Esta capa cumple tres funciones principales y son las siguientes:
* Formateo de datos (presentación)
* Cifrado de datos
* Compresión de datos

Después de recibir los datos de la capa de aplicación, la capa de
presentación ejecuta una de sus funciones, o todas ellas, con los datos antes de
mandarlos a la capa de sesión. En la estación receptora, la capa de presentación
toma los datos de la capa de sesión y ejecuta las funciones requeridas antes de
pasarlos a la capa de aplicación.

Los estándares de la Capa 6 también determinan la presentación de las
imágenes gráficas, algunos estándares son:
* PICT: Un formato de imagen utilizado para transferir gráficos QuickDraw
entre programas del sistema operativo MAC
*TIFF (Formato de archivo de imagen etiquetado):
* JPEG (Grupo conjunto de expertos fotográficos):
Otros estándares de la Capa 6 regulan la presentación de sonido y
películas, entre estos se encuentran:
* MIDI: (Interfaz digital para instrumentos musicales) para música digitalizada
* MPEG (Grupo de expertos en películas): Estándar para la compresión y
codificación de vídeo con movimiento .
* QuickTime: Estándar para el manejo de audio y vídeo para los programas
del sistema operativo MAC
* Formatos de archivo
ASCII y EBCDIC se utilizan para formatear texto. Los archivos de texto
ASCII contienen datos de caracteres simples y carecen de comandos de formato
sofisticados, que los procesadores de texto aplicarían normalmente a un
documento. El programa Notepad es un ejemplo de aplicación que usa y crea
archivos de texto. Generalmente estos archivos tienen la extensión .txt. El código
EBCDIC es muy similar al código ASCII en el sentido de que tampoco utiliza
ningún formato sofisticado. La diferencia principal entre los dos códigos es que
EBCDIC se utiliza principalmente en sistemas mainframe y el código ASCII se
utiliza en PC
Otro formato de archivo común es el formato binario, en donde los archivos
contienen datos codificados especiales que sólo se pueden leer con aplicaciones
de software específicas. Programas como FTP utilizan el tipo de archivo binario
para transferir archivos.

CAPA DE APLICACION
Contiene toda la lógica necesaria para llevar a cabo las aplicaciones de
usuario. Para cada tipo específico de aplicación, como es por ejemplo la
transferencia de un fichero, se necesitará un módulo particular dentro de esta
capa; brinda servicios de red a las aplicaciones del usuario
* Procesos de aplicación
la capa de aplicación soporta el componente de comunicación de una
aplicación. La capa de aplicación es responsable por lo siguiente:
* Identificar y establecer la disponibilidad de los socios de la comunicación
deseada
* Sincronizar las aplicaciones
* Establecer acuerdos con respecto a los procedimientos para la
recuperación de errores
* Controlar la integridad de los datos
* Aplicaciones de red directas
La mayoría de las aplicaciones que operan en un entorno de red se
clasifican como aplicaciones cliente/servidor. Estas tienen todas dos componentes
que les permiten operar: el lado del cliente y el lado del servidor. El lado del cliente
se encuentra ubicado en el computador local y es el que solicita los servicios. El
lado del servidor se encuentra ubicado en un computador remoto y brinda
servicios en respuesta al pedido del cliente.

Una aplicación cliente/servidor funciona mediante la repetición constante de
la siguiente rutina cíclica: petición del cliente, respuesta del servidor; petición del
cliente, respuesta del servidor; etc. Por ejemplo, un navegador de Web accede a
una página Web solicitando un Localizador de recursos uniforme (URL), el
servidor de Web responde a la petición. Posteriormente, tomando como base la
información recibida del servidor de Web, el cliente puede solicitar más
información del mismo servidor de Web o puede acceder a otra página Web desde
un servidor de Web distinto.

Telnet
El software de emulación de terminal (Telnet) tiene la capacidad de acceder
de forma remota a otro computador. Le permite conectarse a un host de Internet y
ejecutar comandos. Se considera al cliente de Telnet como una máquina local y al
servidor de Telnet, que utiliza un software especial denominado daemon, como un
host remoto

Protocolo de transferencia de archivos
El protocolo de transferencia de archivos (FTP) está diseñado para
descargar archivos o cargarlos FTP es una aplicación cliente/servidor al igual que
el correo electrónico y Telnet. Requiere software de servidor que se ejecuta en un
host al que se puede acceder a través del software de cliente.
Una sesión FTP se establece de la misma forma que una sesión Telnet. Al
igual que lo que ocurre con Telnet, la sesión FTP se mantiene hasta que el cliente
la termina o hasta que se produce algún tipo de error de comunicación.

Protocolo de transferencia de hipertexto.

Funciona con la World Wide Web.

Los hipervínculos hacen que la World Wide Web sea fácil de navegar. Un
hipervínculo es un objeto en una página Web que, cuando se hace clic en él, lo
transfiere a otra página Web. La página Web contiene una ubicación de dirección
que se denomina Localizador de Recursos Uniforme (URL)

Miller Villalobos

Joscari Fazzio

Yaniret Figuera

Simon Tovar

Romerlys Bravo

Morelvis Quiñones